作図の難しさ (2022年JJMO予選 第4問)

 本問は参考となる図が掲載されておらず、自力で作図することで問題文の状況を把握する必要が有ります。とはいえ円に内接する四角形や外接円など問題文の情報量は多く、正確な作図に拘り過ぎると前に進むことが出来なくなります。 解答続きを読む “作図の難しさ (2022年JJMO予選 第4問)”

レピュニット数と剰余 (2022年JJMO予選 第9問)

 問題文の言い回しは少々回りくどいですが、要は2022や220など2のゾロ目に対してその1つが0に置き換わった正の整数全体に対し、その約数となり得る2022以下の正の整数の総数を求めれば良い事になります(例えば2022の続きを読む “レピュニット数と剰余 (2022年JJMO予選 第9問)”

重複組み合わせの応用題 (2022年JJMO予選 第7問)

 仮にa,b,c,d,eが単なる非負整数であった場合、互いに区別できない2022個の玉と4つの仕切りを一列に並べる重複組み合わせの考えにより、答えは2026C4通りと即座に立式する事が出来ます(但し計算は大変)。  しか続きを読む “重複組み合わせの応用題 (2022年JJMO予選 第7問)”

円の中の一軒家 (2022年 JJMO予選 第3問)

 五角形ABCDEは長方形と二等辺三角形を組み合わせた形となっており、あたかも円のなかに三角屋根の家が配置されたような趣です。本問における最終目的は五角形の外接円Γの直径を求める事ですが、まずは直径にあたる部分が何である続きを読む “円の中の一軒家 (2022年 JJMO予選 第3問)”

塗り絵と正方形 (2022年JJMO予選 第5問)

 今回はJMOではなく、今年のJJMOからのピックアップです。本問のような「塗り絵」タイプの数え上げ問題は数オリにおいては定番中の定番です。 解答  452 = 2025であるので、45×45のマス目のうち黒く塗られてい続きを読む “塗り絵と正方形 (2022年JJMO予選 第5問)”

まずは小手調べ (2022年 JMO予選 第1~3問)

 例年JMOの予選は各1点の全12問から構成されており、特に最初の3問に関しては比較的解き易い部類の問題が並びます。  今回は今年のJMO予選の問題のうち最初の3問についてまとめて紹介したいと思います。 第1問  まずは続きを読む “まずは小手調べ (2022年 JMO予選 第1~3問)”

問われる読解力 (2022年 JMO予選 第5問)

  昨日行われたJMO予選からのピックアップです。本問はJMO予選の前半に位置していますが、題意の読み取りが難しいものとなっています。  鍵となるのは式中に直接登場しない「正の整数N」の存在であり、「Nより大きい整数d」続きを読む “問われる読解力 (2022年 JMO予選 第5問)”

巨大数の桁の和 (1975年 第17回IMO大会 第4問)

 国際数学五輪(IMO)の第1回大会は1959年にルーマニアで開催されましたが、当初はいわゆる東側諸国内における大会でありました。このような経緯から日本がIMO大会に初参加したのは冷戦終結後に行われた1990年北京大会と続きを読む “巨大数の桁の和 (1975年 第17回IMO大会 第4問)”

有名公式に頼るべし (1990年 JMO予選 第10問)

  3つの変数に対して関係式は1つしか与えられておらず、変数は1つしか減らすことが出来ません。更に最小値を考えるべき式の形はx, y, zに対して非対称である為、基本対称式を利用した解法も厳しそうです。  このように一筋続きを読む “有名公式に頼るべし (1990年 JMO予選 第10問)”

1998年はゾロ目の年 (1998年 JMO予選 第8問)

  ゾロ目数と出題年の西暦を題材としたいかにもJMOらしい出題です。1998の倍数となる条件をいきなり扱うの大変なので、ひとまず必要条件を考える事が最初の一歩となります。 解答  「1998 = 2・33・37」の素因数続きを読む “1998年はゾロ目の年 (1998年 JMO予選 第8問)”