和算と算額 (2017年 慶応義塾大・環境情報)

 算額とは絵馬や額などに和算(狭義には江戸時代の日本独自に発達した数学を指す)の問題や解答を書き込み、それらを神社や仏閣に奉納したものを指します。元々は学業成就を記念して奉納されたとされている算額ですが、一方で和算愛好家続きを読む “和算と算額 (2017年 慶応義塾大・環境情報)”

式の形にヒントは潜む (2013年 JMO予選 第四問)

 与えられた多項式を展開して各々の係数を直接求める事も出来ますが、計算量は膨大で計算ミスのリスクも高く、JMOの趣旨を考えればそれは「最後の手段」と考えるべきでしょう。  各々の係数そのものではなく係数の和が問われている続きを読む “式の形にヒントは潜む (2013年 JMO予選 第四問)”

複雑な不等式の証明 (2015年 大阪大・文理共通)

 二つの変数が絡んだ一見して複雑な不等式の証明問題です。文理共通問題であることから微分など数III絡みの知識は不要であり、あくまで式変形によって不等式を証明する為の力量が問われます。 解答  |x| ≦ 1 及び |y|続きを読む “複雑な不等式の証明 (2015年 大阪大・文理共通)”

レピュニット数の性質 (2008年 東大・理系)

 各桁の数が全て1であるような自然数はレピュニット数(Repunit)と呼ばれ、入試問題でも整数問題や数列絡みで時々登場します。n桁のレピュニット数は初項1、公比10の等比数列の和として見做すことが出来る為、問題文のよう続きを読む “レピュニット数の性質 (2008年 東大・理系)”

中学入試の最高峰 (灘中学 2021年・算数)

 灘中学と言えば開成や筑波大付属駒場などと共に中学入試界隈における最高峰とも言うべき存在であり、入試問題のレベルも小学生レベルを逸脱しています  どの問題も中学入試で許される範囲内でとことん練り上げられており、難易度のベ続きを読む “中学入試の最高峰 (灘中学 2021年・算数)”

正二十面体を考える (2017年 京都府立医科大・改題)

 正二十面体の体積という興味深い題材を扱っている本問ですが、問題文中に図が存在しないため正二十面体の概形を自力でイメージする必要があります。  大学入試ではなじみの薄い空間幾何分野の問題も含まれており、類題経験の無い受験続きを読む “正二十面体を考える (2017年 京都府立医科大・改題)”

正10角形と等積変形 (2021年JMO 予選 第二問)

 予選の2問目はJMO恒例の平面図形問題です。正十角形から切り出された2つの図形の面積の和を求める問題ですが、とある事実に気が付いてしまえば計算は殆ど必要ありません。 解答  正十角形の頂点をA~J、中心をOとします。下続きを読む “正10角形と等積変形 (2021年JMO 予選 第二問)”

正九角形の対角線 (2012年 早稲田大・人間科学)

 正九角形の対角線というマニアックな題材を取り扱った問題です。本問は様々なアプローチが考えられますが、指定通りの形式(a + bcos20°)で解答するには少々苦労させられるかもしれません。 解法1 (二等辺三角形を利用続きを読む “正九角形の対角線 (2012年 早稲田大・人間科学)”

空欄補充問題における邪道 (2010年 早稲田大・スポーツ科学)

 漸化式から一般項を決定するタイプの問題です。ノーヒントであれば中々厳しい内容ですが、幸いなことに丁寧な誘導が付いているのでそれに乗っかるだけです。 解答(正攻法)   anとbnの関係式をanついて解き、元の漸化式に代続きを読む “空欄補充問題における邪道 (2010年 早稲田大・スポーツ科学)”

黒板の数字の行方 (2021年 JMO予選 第四問)

 四問目は最初に与えられた数からルールに従って次々と新しい数を生成するという、数オリではよく見かける形式の整数問題です。これまでの3問と比べると難易度は一気に上がる印象で(第二問、第三問については近日中に記事を作成する予続きを読む “黒板の数字の行方 (2021年 JMO予選 第四問)”