空欄補充問題における邪道 (2010年 早稲田大・スポーツ科学)

 漸化式から一般項を決定するタイプの問題です。ノーヒントであれば中々厳しい内容ですが、幸いなことに丁寧な誘導が付いているのでそれに乗っかるだけです。 解答(正攻法)   anとbnの関係式をanついて解き、元の漸化式に代続きを読む “空欄補充問題における邪道 (2010年 早稲田大・スポーツ科学)”

整数問題における指数関数の捉え方②(2016年 一橋大)

 変数はxのみですが与えられた方程式をxについて解くことは難しそうです。与えられた方程式は両辺に指数関数を含みますが、各々の底の大小関係に着目する事が第一歩となります。 解答  与えられた方程式は「6・27x + 1 =続きを読む “整数問題における指数関数の捉え方②(2016年 一橋大)”

整数問題における指数関数の捉え方① (2009年 日本数学オリンピック本選 第一問)

 JMO(日本数学五輪)の本選は例年5問の記述式問題から構成され(予選は12問の短答式)、試験時間は4時間に及びます(予選は3時間)。各問題の難易度はオリンピックの名に恥じぬ高さを誇り、2完も出来れば国際五輪の代表選考に続きを読む “整数問題における指数関数の捉え方① (2009年 日本数学オリンピック本選 第一問)”

二数の和が自然数となる条件 (2016年 北海道大・文系)

 文系向けに出題された本問ですが、文理共通問題として出題しても決して見劣りしない難易度となっています。問題文から「与式 = m (m: 自然数)」と置きたくなるかもしれませんが、未知数が増えるばかりで埒があきません。  続きを読む “二数の和が自然数となる条件 (2016年 北海道大・文系)”

複素数絡みの整数問題 (2000年 一橋大学)

 素直に考えるのであれば与えられた関係式「w2z = 1 + 18i」の左辺を展開して両辺の係数を比較する所ですが、これにより得られる等式は非常に複雑でここから更なる情報を得ることは困難を極めます。  そこで元々の関係式続きを読む “複素数絡みの整数問題 (2000年 一橋大学)”

サイコロと最小公倍数・最大公約数 (2020年 北海道大・理系)

 n回振ったサイコロの目について最大公約数及び最小公倍数を考えます。問われている内容は明確な為一見すると簡単にも思えますが、この手の問題を試験場でミスなく完答する為には日頃の鍛錬が重要となります。  なお本問は(2)まで続きを読む “サイコロと最小公倍数・最大公約数 (2020年 北海道大・理系)”

個数の処理と極限 (1991年 東工大・後期)

 隣り合う桁の数字が互いに異なる整数の数え上げに関する問題です。題材としてはありふれており、(1)に関しては基本的です。一方で(2)を解答するに当たっては類題経験の有無が鍵を握ります。 (1)の解答   一般のnについて続きを読む “個数の処理と極限 (1991年 東工大・後期)”

コーシー・シュワルツの不等式 (2007年 早稲田大・人間科学)

コーシー・シュワルツの不等式とは  コーシー・シュワルツの不等式は元々ベクトルの内積に関して与えられた定理であり、n次元ベクトル空間(n個の成分から構成される)に属する2つのベクトル u, v に対して以下の通り与えられ続きを読む “コーシー・シュワルツの不等式 (2007年 早稲田大・人間科学)”

見た目に騙される勿れ② (2000年 東大・理系)

 登場する文字が多い上に与えられている関係式も複雑である為、問題文を一瞥しただけでは難解な問題に映ります。時間不足に陥りがちな試験本番では、この手の問題はとりあえず後回しにされがちですが、試しに(1)の誘導に乗ってみると続きを読む “見た目に騙される勿れ② (2000年 東大・理系)”

定積分と微分係数 (2017年 日本医科大)

 定積分絡みの極限値問題ですが、被積分関数が非常に複雑であり直接計算によるアプローチは困難を極めます。実はこのような形をした極限の式にはある種の定石が存在し、積分計算を直接行わずとも極限値を求めることが可能です。 解答 続きを読む “定積分と微分係数 (2017年 日本医科大)”