有名公式に頼るべし② (1998年 JMO予選 第10問)

 \(x,y,z\)が正の実数を動くとき \(\displaystyle\frac{x^3y^2z}{x^6+y^6+z^6}\) の最大値を求めよ。  一般的な多変数関数の最大最小を議論する為には大学で学ぶ解析学の知識続きを読む “有名公式に頼るべし② (1998年 JMO予選 第10問)”

四乗数と素数 (1969年 第11回IMO ルーマニア大会 第1問)

以下の性質を持つ自然数 \(a\) が無限個存在することを示せ。 (性質): \(z=n^4+a\) はどの自然数 \(n\) に対しても素数ではない。  任意の \(n\) に対してある \(n\) の整式が合成数(=続きを読む “四乗数と素数 (1969年 第11回IMO ルーマニア大会 第1問)”

歴史の幕開け (1959年 第1回 IMO 第1問)

 任意の自然数 \(n\) について, \(\displaystyle\frac{21n+4}{14n+3}\) は既約分数である事を証明せよ  60年以上の歴史を持つIMOの第1回大会は東欧ルーマニアにて開催されました続きを読む “歴史の幕開け (1959年 第1回 IMO 第1問)”

3次元塗り絵 (2022年JJMO予選 第8問)

 穴の開いたルービックキューブのような立体に数字を書き込むタイプの問題で、厳密には塗り絵ではありませんがタイプとしては同じです。  ルールに従って数字を書き込むにあたっては6面全ての状況を一度に把握した所ですが、この立体続きを読む “3次元塗り絵 (2022年JJMO予選 第8問)”

3つの直角二等辺三角形 (2022年 JJMO予選 第6問)

 タイトル通り3つの直角三角形を組み合わせて出来る凹五角形を題材としています。直角二等辺三角形の性質を最大限に利用すると共に、凹五角形の面積に関する情報をどのように利用するかが鍵となります。 解答  上記解答では△ABD続きを読む “3つの直角二等辺三角形 (2022年 JJMO予選 第6問)”

相似と面積比 (2022年JJMO予選 第11問)

  第4問と同様に自力で作図するタイプの平面図形問題ですが、作図に関しては第4問よりも容易です。但し作図以降の流れは決して容易とは言えず、与えられた角度や面積に関する条件を無駄なく使い切るセンスが必要です。 解答 コメン続きを読む “相似と面積比 (2022年JJMO予選 第11問)”

作図の難しさ (2022年JJMO予選 第4問)

 本問は参考となる図が掲載されておらず、自力で作図することで問題文の状況を把握する必要が有ります。とはいえ円に内接する四角形や外接円など問題文の情報量は多く、正確な作図に拘り過ぎると前に進むことが出来なくなります。 解答続きを読む “作図の難しさ (2022年JJMO予選 第4問)”

レピュニット数と剰余 (2022年JJMO予選 第9問)

 問題文の言い回しは少々回りくどいですが、要は2022や220など2のゾロ目に対してその1つが0に置き換わった正の整数全体に対し、その約数となり得る2022以下の正の整数の総数を求めれば良い事になります(例えば2022の続きを読む “レピュニット数と剰余 (2022年JJMO予選 第9問)”

重複組み合わせの応用題 (2022年JJMO予選 第7問)

 仮にa,b,c,d,eが単なる非負整数であった場合、互いに区別できない2022個の玉と4つの仕切りを一列に並べる重複組み合わせの考えにより、答えは2026C4通りと即座に立式する事が出来ます(但し計算は大変)。  しか続きを読む “重複組み合わせの応用題 (2022年JJMO予選 第7問)”

円の中の一軒家 (2022年 JJMO予選 第3問)

 五角形ABCDEは長方形と二等辺三角形を組み合わせた形となっており、あたかも円のなかに三角屋根の家が配置されたような趣です。本問における最終目的は五角形の外接円Γの直径を求める事ですが、まずは直径にあたる部分が何である続きを読む “円の中の一軒家 (2022年 JJMO予選 第3問)”