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塗り絵と正方形 (2022年JJMO予選第5問)

　今回はJMOではなく、今年のJJMOからのピックアップです。本問のような「塗り絵」タイプの数え上げ問題は数オリにおいては定番中の定番です。解答　452 = 2025であるので、45×45のマス目のうち黒く塗られてい続きを読む “塗り絵と正方形 (2022年JJMO予選第5問)”

　例年JMOの予選は各1点の全12問から構成されており、特に最初の3問に関しては比較的解き易い部類の問題が並びます。　今回は今年のJMO予選の問題のうち最初の3問についてまとめて紹介したいと思います。第1問　まずは続きを読む “まずは小手調べ (2022年 JMO予選第1~3問)”

　　昨日行われたJMO予選からのピックアップです。本問はJMO予選の前半に位置していますが、題意の読み取りが難しいものとなっています。　鍵となるのは式中に直接登場しない「正の整数N」の存在であり、「Nより大きい整数d」続きを読む “問われる読解力 (2022年 JMO予選第5問)”

　国際数学五輪(IMO)の第1回大会は1959年にルーマニアで開催されましたが、当初はいわゆる東側諸国内における大会でありました。このような経緯から日本がIMO大会に初参加したのは冷戦終結後に行われた1990年北京大会と続きを読む “巨大数の桁の和 (1975年第17回IMO大会第4問)”

　　3つの変数に対して関係式は1つしか与えられておらず、変数は1つしか減らすことが出来ません。更に最小値を考えるべき式の形はx, y, zに対して非対称である為、基本対称式を利用した解法も厳しそうです。　このように一筋続きを読む “有名公式に頼るべし (1990年 JMO予選第10問)”

　　ゾロ目数と出題年の西暦を題材としたいかにもJMOらしい出題です。1998の倍数となる条件をいきなり扱うの大変なので、ひとまず必要条件を考える事が最初の一歩となります。解答　「1998 = 2・33・37」の素因数続きを読む “1998年はゾロ目の年 (1998年 JMO予選第8問)”

　20°に対応する三角比を求める事は困難であるので、何らかの工夫が必要となります。問題文はシンプルであり図形もイメージし易いですが、JMO予選の第8問ということで難易度は高めです。解法1 (数式による処理) 　正弦定理続きを読む “図形的考察vs数式処理(1999年 JMO予選第8問)”

　いかにも何か背景がありそうな問題ですが一旦それは置いておきます。手元にパソコンや関数電卓があれば左辺の各項を足し合わせて5乗根を計算するだけなのですが、当然ながら試験場でそのような解法は許されません。　従って頼りにな続きを読む “オイラー予想の解決策 (1991年 JMO予選第7問)”

　久しぶりの更新は、やや古めのJMOからの出題となります。解答　　例えば最初の状態から操作P1を行うと1996個の電球全てが点灯します。そしてこの状態から操作P2を行えば偶数番目の電球は全て消灯し、奇数番目の電球は全続きを読む “点いたり消えたり (1996年 JMO予選第11問)”

　与えられた多項式を展開して各々の係数を直接求める事も出来ますが、計算量は膨大で計算ミスのリスクも高く、JMOの趣旨を考えればそれは「最後の手段」と考えるべきでしょう。　各々の係数そのものではなく係数の和が問われている続きを読む “式の形にヒントは潜む (2013年 JMO予選第四問)”