疲労は最小限に (1961年 京大・文理共通)

 先に出発したAを後からBが追いかけるいわゆる旅人算のような雰囲気の問題ですが、大きな特徴として追いかける側の「疲労」を考慮に入れています。疲労が速さの二乗と時間に比例するか否かはさておいて、Bはどのような速さで追いかけ続きを読む “疲労は最小限に (1961年 京大・文理共通)”

図形的解釈の重要性② (1991年 京大・理系)

 前回に引き続き京大入試から不等式の証明問題ですが、今回は誘導などが無いため方針を全て自力で立てる必要があります。本問も強引な式変形による方針を取ると泥沼に嵌るタイプの問題であり、不等式を図形的に見ることの重要性が問われ続きを読む “図形的解釈の重要性② (1991年 京大・理系)”

図形的解釈の重要性① (1997年 京大・理系前期)

  最終的な目標は(2)の不等式を示す事ですが、(1)の不等式がヒントとなっているのは明確です。問題となるのは(1)の証明ですが、定積分絡みの不等式が出題された場合、図形の面積と絡めて考える事で上手くいく場合があります。続きを読む “図形的解釈の重要性① (1997年 京大・理系前期)”

A君は何を誤ってしまったのか? (1980年 京大・文系)

 「サイコロを6回振れば少なくとも1回は1の目が出るか?」という命題が偽であること、そして正しい確率を計算する方法は多くの受験生が知っていると思われます。  一方でA君は命題が真であるとの立場から、問題文に示すような主張続きを読む “A君は何を誤ってしまったのか? (1980年 京大・文系)”

素数づくしの整数問題 (2016年 京都大学 文理共通)

 問題文はわずか1行、登場人物は全て素数という強烈なインパクトを与える内容で、京大の整数問題の中でもかなり有名と思われます。  素数は無数に存在するので雲をつかむような問題にも思えますが、最初の一歩は「偶素数は2のみ」と続きを読む “素数づくしの整数問題 (2016年 京都大学 文理共通)”

リーグ戦順位の妙 (1975年 京大 文理共通)

  本問はリーグ戦(総当たり戦)の順位にまつわる一見不思議な事象を証明させる問題です。計算は殆ど必要とせず、純粋な論証力のみが問われる京大らしい一問です。 解答 前半: 順位と勝利数に関する条件  上述の通り、同着のチー続きを読む “リーグ戦順位の妙 (1975年 京大 文理共通)”

京都大学の本気 (2020年 京大理系 第4問)

 今回は今年の京大入試から、毎年恒例の整数問題を取り上げます。  ここ10年ほどの京大の整数問題といえば、問題文が非常に短いうえに計算量も少ない為(ある程度の発想力は要求されます)、得意な人にとってはいわゆる「得点の稼ぎ続きを読む “京都大学の本気 (2020年 京大理系 第4問)”

2^nの最高位が7となる条件 (2001年 京大 理系後期)

  本問は2の累乗の最高位を題材とした、対数分野からの出題です。  ある正の整数の常用対数(10を底とする対数)を取ったとき、その値は整数部分と小数部分に分かれます。  この際整数部分は元の整数の桁数を求める為に利用され続きを読む “2^nの最高位が7となる条件 (2001年 京大 理系後期)”

正方形が格子点を必ず含む条件 (1971年 京大 理系)

 xy平面、或いはxyz空間において各座標が全て整数であるような点は格子点と呼ばれ、大学入試においては様々な切り口で登場します。  本題のテーマは「どの程度の長さがあれば正方形は必ず格子点を含むか?」です。(1)では正方続きを読む “正方形が格子点を必ず含む条件 (1971年 京大 理系)”

三角比と等比・等差数列の融合問題 (1975年 京大 文理共通)

  「角度が等差数列、正弦が等比数列の場合は存在するか?」というシンプルながら、結論が気になる問題です。等差数列、及び等比数列に関する条件からα, β, γ 及び sinα, sinβ, sinγ 間の関係式を導くことが続きを読む “三角比と等比・等差数列の融合問題 (1975年 京大 文理共通)”