平面図形 – 数学日和

3つの直角二等辺三角形 (2022年 JJMO予選第6問)

　タイトル通り3つの直角三角形を組み合わせて出来る凹五角形を題材としています。直角二等辺三角形の性質を最大限に利用すると共に、凹五角形の面積に関する情報をどのように利用するかが鍵となります。解答　上記解答では△ABD続きを読む “3つの直角二等辺三角形 (2022年 JJMO予選第6問)”

　　第4問と同様に自力で作図するタイプの平面図形問題ですが、作図に関しては第4問よりも容易です。但し作図以降の流れは決して容易とは言えず、与えられた角度や面積に関する条件を無駄なく使い切るセンスが必要です。解答コメン続きを読む “相似と面積比 (2022年JJMO予選第11問)”

　本問は参考となる図が掲載されておらず、自力で作図することで問題文の状況を把握する必要が有ります。とはいえ円に内接する四角形や外接円など問題文の情報量は多く、正確な作図に拘り過ぎると前に進むことが出来なくなります。解答続きを読む “作図の難しさ (2022年JJMO予選　第4問)”

　例年JMOの予選は各1点の全12問から構成されており、特に最初の3問に関しては比較的解き易い部類の問題が並びます。　今回は今年のJMO予選の問題のうち最初の3問についてまとめて紹介したいと思います。第1問　まずは続きを読む “まずは小手調べ (2022年 JMO予選第1~3問)”

　確率と平面座標を融合させた面白い切り口の問題です。解答　事象AとBが互いに独立であるという事は「P(A∩B) = P(A)P(B)」が成立する事と互いに同値です。従ってベン図を利用して点Q及びRの座標をP(A), 続きを読む “確率論と座標 (2019年浜松医科大)”

　算額とは絵馬や額などに和算(狭義には江戸時代の日本独自に発達した数学を指す)の問題や解答を書き込み、それらを神社や仏閣に奉納したものを指します。元々は学業成就を記念して奉納されたとされている算額ですが、一方で和算愛好家続きを読む “和算と算額 (2017年慶応義塾大・環境情報)”

　正二十面体の体積という興味深い題材を扱っている本問ですが、問題文中に図が存在しないため正二十面体の概形を自力でイメージする必要があります。　大学入試ではなじみの薄い空間幾何分野の問題も含まれており、類題経験の無い受験続きを読む “正二十面体を考える (2017年京都府立医科大・改題)”

　予選の2問目はJMO恒例の平面図形問題です。正十角形から切り出された2つの図形の面積の和を求める問題ですが、とある事実に気が付いてしまえば計算は殆ど必要ありません。解答　正十角形の頂点をA~J、中心をOとします。下続きを読む “正10角形と等積変形 (2021年JMO 予選第二問)”

　正九角形の対角線というマニアックな題材を取り扱った問題です。本問は様々なアプローチが考えられますが、指定通りの形式(a + bcos20°)で解答するには少々苦労させられるかもしれません。解法1 (二等辺三角形を利用続きを読む “正九角形の対角線 (2012年早稲田大・人間科学)”

　ある三角形の3辺の長さがa, b, cであるとき、面積Sは以下の式で与えられます。　　これはヘロンの公式と呼ばれ、紀元1世紀頃(諸説あり)にギリシア人数学者ヘロンにより提唱されたものです。三角形の場合は3辺の長さが定続きを読む “ブラーマグプタの公式 (2017年大阪教育大)”