連分数と黄金比 (2018年 大分大・医)

 一見すると二項間漸化式の一般項と極限を求めるだけのありふれた問題に見えますが、与えられた漸化式から式変形により一般項を求める事は厳しいように思われます。  このような場合小さい \(n\)に対して\(a_n\)の値を具続きを読む “連分数と黄金比 (2018年 大分大・医)”

バーゼル問題の初等的解法 (2020年 慶応大・医)

 平方数全ての逆数和が収束する事は古くより知られていましたが、具体的にどのような値に収束するのか疑問は1644年に提起されて以降、長らく未解決でした。  この疑問は提起から凡そ100年後の1735年にレオンハルト・オイラ続きを読む “バーゼル問題の初等的解法 (2020年 慶応大・医)”

初手が全て (2003年 京大理系 後期 第4問)

 数列anに関する条件は極めて抽象的であり、一見すると命題を示すことは困難であるように思われます。本問を解く上では与えられた唯一の条件「anの各項は全て正」を使う事となりますが、どのように利用するかがカギとなります。  続きを読む “初手が全て (2003年 京大理系 後期 第4問)”

漸化式を解く前に一呼吸 (2007年 一橋大)

 本問を素直に解くのであれば、与えられた漸化式からan, bn, cnの一般項を具体的に決定した上で(1)及び(2)に取り組むこととなります。  anは等比型、bnは階差型の漸化式で与えられており、各々の一般項を求める事続きを読む “漸化式を解く前に一呼吸 (2007年 一橋大)”

問われる計算センス (1973年 京大・理系)

 京大らしからぬ純粋な極限計算の問題ですが、計算の手順を誤ってしまうと大幅に時間と取られるうえ計算ミスも多発します。そういった意味では受験生の「計算センス」が問われる一問と言えるかもしれません。  なおn以降の[&#82続きを読む “問われる計算センス (1973年 京大・理系)”

レピュニット数の性質 (2008年 東大・理系)

 各桁の数が全て1であるような自然数はレピュニット数(Repunit)と呼ばれ、入試問題でも整数問題や数列絡みで時々登場します。n桁のレピュニット数は初項1、公比10の等比数列の和として見做すことが出来る為、問題文のよう続きを読む “レピュニット数の性質 (2008年 東大・理系)”

空欄補充問題における邪道 (2010年 早稲田大・スポーツ科学)

 漸化式から一般項を決定するタイプの問題です。ノーヒントであれば中々厳しい内容ですが、幸いなことに丁寧な誘導が付いているのでそれに乗っかるだけです。 解答(正攻法)   anとbnの関係式をanついて解き、元の漸化式に代続きを読む “空欄補充問題における邪道 (2010年 早稲田大・スポーツ科学)”

黒板の数字の行方 (2021年 JMO予選 第四問)

 四問目は最初に与えられた数からルールに従って次々と新しい数を生成するという、数オリではよく見かける形式の整数問題です。これまでの3問と比べると難易度は一気に上がる印象で(第二問、第三問については近日中に記事を作成する予続きを読む “黒板の数字の行方 (2021年 JMO予選 第四問)”

個数の処理と極限 (1991年 東工大・後期)

 隣り合う桁の数字が互いに異なる整数の数え上げに関する問題です。題材としてはありふれており、(1)に関しては基本的です。一方で(2)を解答するに当たっては類題経験の有無が鍵を握ります。 (1)の解答  一般のnについて考続きを読む “個数の処理と極限 (1991年 東工大・後期)”

見た目に騙される勿れ② (2000年 東大・理系)

 登場する文字が多い上に与えられている関係式も複雑である為、問題文を一瞥しただけでは難解な問題に映ります。時間不足に陥りがちな試験本番では、この手の問題はとりあえず後回しにされがちですが、試しに(1)の誘導に乗ってみると続きを読む “見た目に騙される勿れ② (2000年 東大・理系)”