平方数の上3桁 (2008年 JMO予選 第7問)

 6桁の平方数は全部で683個存在する為、それら全てについて上3桁を具体的に求めている時間的余裕はありません。本問で要求されているのは6桁の平方数の上3桁が取り得る具体的な値では無く、取り得る値の総数であることがポイント続きを読む “平方数の上3桁 (2008年 JMO予選 第7問)”

特殊ルールで定義される数列② (2019年 早稲田大・商)

 以前にも紹介したように(https://wp.me/pbB1S2-wO)、早稲田商学部の入試では特殊な数列を題材とした整数問題を好んで出題する傾向があり、いわゆる受験テクニックだけでは太刀打ちできない難しさがあります。続きを読む “特殊ルールで定義される数列② (2019年 早稲田大・商)”

特殊ルールで規定される数列 (2008年 早稲田大・商)

 大学入試で登場する数列には大きく分けて以下の3パターンがあり、理論上はどのパターンであっても 代入計算によって任意のnに対してanを計算することが出来ます。 ① 等差数列・等比数列などの基本形② 「an = n2+n」続きを読む “特殊ルールで規定される数列 (2008年 早稲田大・商)”

見方を変えれば変数も変わる (1973年 東大・理系)

 fkはn個の変数 (x1, x2, …, xn) から成るk次の多項式であり、これをf1及びf2のみで表現する事は一見すると難題のように思えます。そこでx1, x2, …, xnの取り得る値が0続きを読む “見方を変えれば変数も変わる (1973年 東大・理系)”

AO入試の味わい (2009年 東工大 第一類特別入試)

 かつて東工大の第一類では後期入試を廃止する代わりに、「試験科目は数学のみ」という非常にユニークなAO入試を行っていました。「入試時期が一般入試より早い」、「仮にAO入試に合格した場合でも、後の一般入試で東大など他大学の続きを読む “AO入試の味わい (2009年 東工大 第一類特別入試)”

必要条件から絞り込む② (1986年 東工大)

  本題も前記事(https://matsubushi.com/2020/03/22/必要条件から絞り込む①-2019年-一橋大学/)同様に「必要条件から絞り込む」という考え方が鍵となります。 解答  今回は最初から一般続きを読む “必要条件から絞り込む② (1986年 東工大)”

必要条件から絞り込む① (2019年 一橋大学)

 与えられた数列anはいわゆる3項間漸化式によって定義されますが、余分な定数がくっついている為に一般項をnの式で表すのは非常に困難であり、本問では漸化式をそのまま利用する事になります。  最初の一手は背理法です。すなわち続きを読む “必要条件から絞り込む① (2019年 一橋大学)”

解けない漸化式と極限 (1988年 東工大)

 最近は整数問題が続いたので、今回は数列及び極限分野からの出題です。漸化式の見た目からして、普通に解いても一般項が求まらない事は何となく予感させられます。  そのような場合の次の一手として、漸化式に従ってn=1から順番に続きを読む “解けない漸化式と極限 (1988年 東工大)”

受験生の数だけ答えがある(1976年 京都大学 文系)

1995年の京大後期の文系で出題された以下の問題の設問(2)は、計算結果によって解答者の得点が決まる問題として非常に有名です。解説は特に行いませんが、実はg(n)の値は0か18のどちらかしか存在せず、問題文から漂う自由さ続きを読む “受験生の数だけ答えがある(1976年 京都大学 文系)”