整数問題 – 数学日和

四乗数と素数 (1969年第11回IMO ルーマニア大会第1問)

以下の性質を持つ自然数 \(a\) が無限個存在することを示せ。 (性質): \(z=n^4+a\) はどの自然数 \(n\) に対しても素数ではない。　任意の \(n\) に対してある \(n\) の整式が合成数(=続きを読む “四乗数と素数 (1969年第11回IMO ルーマニア大会第1問)”

　任意の自然数 \(n\) について, \(\displaystyle\frac{21n+4}{14n+3}\) は既約分数である事を証明せよ　60年以上の歴史を持つIMOの第1回大会は東欧ルーマニアにて開催されました続きを読む “歴史の幕開け (1959年第1回 IMO 第1問)”

　問題文の言い回しは少々回りくどいですが、要は2022や220など2のゾロ目に対してその1つが0に置き換わった正の整数全体に対し、その約数となり得る2022以下の正の整数の総数を求めれば良い事になります(例えば2022の続きを読む “レピュニット数と剰余 (2022年JJMO予選第9問)”

　仮にa,b,c,d,eが単なる非負整数であった場合、互いに区別できない2022個の玉と4つの仕切りを一列に並べる重複組み合わせの考えにより、答えは2026C4通りと即座に立式する事が出来ます(但し計算は大変)。　しか続きを読む “重複組み合わせの応用題 (2022年JJMO予選第7問)”

　例年JMOの予選は各1点の全12問から構成されており、特に最初の3問に関しては比較的解き易い部類の問題が並びます。　今回は今年のJMO予選の問題のうち最初の3問についてまとめて紹介したいと思います。第1問　まずは続きを読む “まずは小手調べ (2022年 JMO予選第1~3問)”

　　昨日行われたJMO予選からのピックアップです。本問はJMO予選の前半に位置していますが、題意の読み取りが難しいものとなっています。　鍵となるのは式中に直接登場しない「正の整数N」の存在であり、「Nより大きい整数d」続きを読む “問われる読解力 (2022年 JMO予選第5問)”

　国際数学五輪(IMO)の第1回大会は1959年にルーマニアで開催されましたが、当初はいわゆる東側諸国内における大会でありました。このような経緯から日本がIMO大会に初参加したのは冷戦終結後に行われた1990年北京大会と続きを読む “巨大数の桁の和 (1975年第17回IMO大会第4問)”

　いかにも何か背景がありそうな問題ですが一旦それは置いておきます。手元にパソコンや関数電卓があれば左辺の各項を足し合わせて5乗根を計算するだけなのですが、当然ながら試験場でそのような解法は許されません。　従って頼りにな続きを読む “オイラー予想の解決策 (1991年 JMO予選第7問)”

　久しぶりの更新は、やや古めのJMOからの出題となります。解答　　例えば最初の状態から操作P1を行うと1996個の電球全てが点灯します。そしてこの状態から操作P2を行えば偶数番目の電球は全て消灯し、奇数番目の電球は全続きを読む “点いたり消えたり (1996年 JMO予選第11問)”

　素数絡みの整数問題は大学入試において頻出であり、本問もそうした問題の一つです。n, kと2つの文字について同時に考える必要がある上に誘導も無い為、素数や整数に対する実戦経験がものを言います。解答　自然数n, kに対続きを読む “素数であるという事 (2021年東京学芸大)”