平方数の上3桁 (2008年 JMO予選 第7問)

 6桁の平方数は全部で683個存在する為、それら全てについて上3桁を具体的に求めている時間的余裕はありません。本問で要求されているのは6桁の平方数の上3桁が取り得る具体的な値では無く、取り得る値の総数であることがポイント続きを読む “平方数の上3桁 (2008年 JMO予選 第7問)”

二次方程式と整数解 (2003年 千葉大学)

  整数係数の二次方程式が整数解を持つ条件を求めるという時折見かけるタイプの問題です。大きく二通りの解法が考えられますが、以降の展開は両者で大きく異なります。 解法1: 整数解と定数項の関係を利用する  全ての係数が整数続きを読む “二次方程式と整数解 (2003年 千葉大学)”

高次不定方程式の捌き方 (2001年 京大・理系後期)

 京大らしくノーヒントかつシンプルな問題です。もしx2の係数が2であれば方程式は「(x-y)2 + (y+z)2 + (z-x)2 = 5」と同値変形出来る為それほど難しくはありませんが、今回はx2の係数が1である為それ続きを読む “高次不定方程式の捌き方 (2001年 京大・理系後期)”

小問集合に潜む魔物 (2019年 早稲田大・商)

 早稲田商学部の数学は3つの大問に対し90分の試験時間が与えられており、第一問は4つの独立した設問から構成される空欄補充型の小問集合、第二問及び第三問は論述式の問題となっているのが通例です。  これだけ聞くと解答時間に余続きを読む “小問集合に潜む魔物 (2019年 早稲田大・商)”

特殊ルールで定義される数列② (2019年 早稲田大・商)

 以前にも紹介したように(https://wp.me/pbB1S2-wO)、早稲田商学部の入試では特殊な数列を題材とした整数問題を好んで出題する傾向があり、いわゆる受験テクニックだけでは太刀打ちできない難しさがあります。続きを読む “特殊ルールで定義される数列② (2019年 早稲田大・商)”

式変形に潜む罠② (1999年 早稲田大・商)

 今回は20年以上前の早大商学部より恒等式絡みの整数問題を取り上げます。定石に従うのであれば両辺を展開計算して各々の係数を比較するところなのですが… 解答  両辺を展開して係数を比較する事で、a, b, cに続きを読む “式変形に潜む罠② (1999年 早稲田大・商)”

素数と多項式 (2018年 京大・文理共通)

 「整数nの多項式が素数となる条件を考えよ」という非常にシンプルな内容ですが、無数に存在する整数全てについて検証する事は不可能です。  そこで与式を f(n)と置き、まずは小さな整数値で状況を探る事にします。 f(-3)続きを読む “素数と多項式 (2018年 京大・文理共通)”

2の累乗と十の位 (2005年 千葉大学)

 2の累乗は大学入試において出番が非常に多く、実に様々な切り口で登場します。本題の(1)及び(2)は常用対数や周期性に関する頻出問題である反面、(3)に関しては前問までの定石が通じず一筋縄ではありません。 (1)の解答 続きを読む “2の累乗と十の位 (2005年 千葉大学)”

近似解から真の解を決定する (1982年 東大 文科)

 一般的に方程式の近似解から真の解を求めることは不可能ですが、今回は与えられた方程式が複二次式かつ整数係数であることが大きなポイントとなります。 解答 解説  与えられた四次方程式の左辺が複二次式の形であることから、その続きを読む “近似解から真の解を決定する (1982年 東大 文科)”

巨大な数の下3桁を考える (2009年 JJMO予選 第8問)

 以前にも紹介した通り(https://matsubushi.com/2020/04/02/あやふや虫食い算-2015年-jjmo予選-第3問/)、JJMOは中学生以下を対象とした大会ですが後半の問題ともなるとその難易度続きを読む “巨大な数の下3桁を考える (2009年 JJMO予選 第8問)”