連分数と黄金比 (2018年 大分大・医)

 一見すると二項間漸化式の一般項と極限を求めるだけのありふれた問題に見えますが、与えられた漸化式から式変形により一般項を求める事は厳しいように思われます。  このような場合小さい \(n\)に対して\(a_n\)の値を具続きを読む “連分数と黄金比 (2018年 大分大・医)”

バーゼル問題の初等的解法 (2020年 慶応大・医)

 平方数全ての逆数和が収束する事は古くより知られていましたが、具体的にどのような値に収束するのか疑問は1644年に提起されて以降、長らく未解決でした。  この疑問は提起から凡そ100年後の1735年にレオンハルト・オイラ続きを読む “バーゼル問題の初等的解法 (2020年 慶応大・医)”

問われる計算センス (1973年 京大・理系)

 京大らしからぬ純粋な極限計算の問題ですが、計算の手順を誤ってしまうと大幅に時間と取られるうえ計算ミスも多発します。そういった意味では受験生の「計算センス」が問われる一問と言えるかもしれません。  なおn以降の[&#82続きを読む “問われる計算センス (1973年 京大・理系)”

個数の処理と極限 (1991年 東工大・後期)

 隣り合う桁の数字が互いに異なる整数の数え上げに関する問題です。題材としてはありふれており、(1)に関しては基本的です。一方で(2)を解答するに当たっては類題経験の有無が鍵を握ります。 (1)の解答  一般のnについて考続きを読む “個数の処理と極限 (1991年 東工大・後期)”

見た目に騙される勿れ② (2000年 東大・理系)

 登場する文字が多い上に与えられている関係式も複雑である為、問題文を一瞥しただけでは難解な問題に映ります。時間不足に陥りがちな試験本番では、この手の問題はとりあえず後回しにされがちですが、試しに(1)の誘導に乗ってみると続きを読む “見た目に騙される勿れ② (2000年 東大・理系)”

定積分と微分係数 (2017年 日本医科大)

 定積分絡みの極限値問題ですが、被積分関数が非常に複雑であり直接計算によるアプローチは困難を極めます。実はこのような形をした極限の式にはある種の定石が存在し、積分計算を直接行わずとも極限値を求めることが可能です。 解答 続きを読む “定積分と微分係数 (2017年 日本医科大)”

極限値をイメージで捉える (2009年 大分大・医)

 (1)は教科書レベルの計算問題ですが、(2)は難問であり(1)とは別物として考える必要が有ります。Inの積分計算は n ≧ 3以降は急激に複雑になり、一般のnに対してIn を nの式で直接表現する事は現実的ではありませ続きを読む “極限値をイメージで捉える (2009年 大分大・医)”

ネイピア数と虚数単位の関係性 (2018年 早稲田大・教育)

 自然対数の底(ネイピア数)の定義と複素数の融合問題です。(1)は標準的な極限計算問題ですが、(2)ではネイピア数と複素数にまつわる興味深い関係式を得ることが出来ます。 (1)の解答  問題文の記述を最大限に利用してはさ続きを読む “ネイピア数と虚数単位の関係性 (2018年 早稲田大・教育)”

解けない方程式と極限 (2015年 滋賀医科大学)

  難関大では頻出タイプである方程式と極限計算の融合問題ですが、この手の問題の常として与えられた方程式の解を具体的に求める事は出来ません。  本問のような極限計算に相対した場合、与えられた方程式からの式変形やはさみうちの続きを読む “解けない方程式と極限 (2015年 滋賀医科大学)”

確率問題に潜む定積分 (2010年 京大・理系)

 「n個のボールが2n個の箱に重複なく入る確率」という典型問題ですが、今回問われているのは確率そのもの(pn)ではなく関連した極限値となっています。このような出題形式の場合、確率をnの式で表現するところが本題であり「極限続きを読む “確率問題に潜む定積分 (2010年 京大・理系)”

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