JMO – 数学日和

有名公式に頼るべし② (1998年 JMO予選第10問)

　\(x,y,z\)が正の実数を動くとき \(\displaystyle\frac{x^3y^2z}{x^6+y^6+z^6}\) の最大値を求めよ。　一般的な多変数関数の最大最小を議論する為には大学で学ぶ解析学の知識続きを読む “有名公式に頼るべし② (1998年 JMO予選第10問)”

　例年JMOの予選は各1点の全12問から構成されており、特に最初の3問に関しては比較的解き易い部類の問題が並びます。　今回は今年のJMO予選の問題のうち最初の3問についてまとめて紹介したいと思います。第1問　まずは続きを読む “まずは小手調べ (2022年 JMO予選第1~3問)”

　　昨日行われたJMO予選からのピックアップです。本問はJMO予選の前半に位置していますが、題意の読み取りが難しいものとなっています。　鍵となるのは式中に直接登場しない「正の整数N」の存在であり、「Nより大きい整数d」続きを読む “問われる読解力 (2022年 JMO予選第5問)”

　　3つの変数に対して関係式は1つしか与えられておらず、変数は1つしか減らすことが出来ません。更に最小値を考えるべき式の形はx, y, zに対して非対称である為、基本対称式を利用した解法も厳しそうです。　このように一筋続きを読む “有名公式に頼るべし (1990年 JMO予選第10問)”

　いかにも何か背景がありそうな問題ですが一旦それは置いておきます。手元にパソコンや関数電卓があれば左辺の各項を足し合わせて5乗根を計算するだけなのですが、当然ながら試験場でそのような解法は許されません。　従って頼りにな続きを読む “オイラー予想の解決策 (1991年 JMO予選第7問)”

　久しぶりの更新は、やや古めのJMOからの出題となります。解答　　例えば最初の状態から操作P1を行うと1996個の電球全てが点灯します。そしてこの状態から操作P2を行えば偶数番目の電球は全て消灯し、奇数番目の電球は全続きを読む “点いたり消えたり (1996年 JMO予選第11問)”

　与えられた多項式を展開して各々の係数を直接求める事も出来ますが、計算量は膨大で計算ミスのリスクも高く、JMOの趣旨を考えればそれは「最後の手段」と考えるべきでしょう。　各々の係数そのものではなく係数の和が問われている続きを読む “式の形にヒントは潜む (2013年 JMO予選第四問)”

　予選の2問目はJMO恒例の平面図形問題です。正十角形から切り出された2つの図形の面積の和を求める問題ですが、とある事実に気が付いてしまえば計算は殆ど必要ありません。解答　正十角形の頂点をA~J、中心をOとします。下続きを読む “正10角形と等積変形 (2021年JMO 予選第二問)”

　四問目は最初に与えられた数からルールに従って次々と新しい数を生成するという、数オリではよく見かける形式の整数問題です。これまでの3問と比べると難易度は一気に上がる印象で(第二問、第三問については近日中に記事を作成する予続きを読む “黒板の数字の行方 (2021年 JMO予選第四問)”

　昨日2021年のJMO予選が行われましたが、今年はコロナウィルスの影響もあり異例のオンライン開催となりました。とはいえ解答方式は例年通りで、試験時間3時間に対して12問の大問から構成されており、各問題に対して答えのみを続きを読む “隠れ年号問題 (2021年 JMO予選第一問)”